HERBRAND (Jacques). Recherches sur la théorie de la démonstration.

Warszawa, Dziewulski, 1930, in-8, br., (2)-128 pp. (L78) ¦Travaux de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, classe III sciences mathématiques et physiques, n° 33. Édition originale de la thèse de doctorat de ce logicien de génie mort à 23 ans (1908-1931), auteur d'un théorème "considéré comme fondamental dans la logique des prédicats" (Larousse). Son oeuvre a été "redécouverte" par les Américains au début des années 70, dans le cadre de la recherche concernant la science informatique. Reçu premier à l'École normale supérieure en 1925, puis premier à l'agrégation, Jacques Herbrand soutient sa thèse en Sorbonne. Publiée en Pologne en 1930, elle "est l'aboutissement de réflexions inspirées par sa lecture de Löwenheim, Skolem, von Neumann et Hilbert. L'objet de Herbrand est d'introduire "les nouvelles logiques axiomatiques hilbertiennes" en France, et de faire une place à l'algèbre dans un enseignement mathématique entièrement dominé par l'analyse", explique Catherine Chevalley (Revue d'histoire des sciences, 1987, vol. 40, p. 73).  Malgré les critiques de la Sorbonne qui juge sa thèse trop "philosophique", celle-ci "lui assure très vite une réputation internationale". Parti pour l'Allemagne avec une bourse Rockefeller en octobre 1930, il travaille à Berlin avec von Neumann, puis à Hambourg avec Artin, puis à Göttingen avec Emmy Noether. Les lettres qu'il écrit pendant cette période montrent une évolution de ses intérêts essentiels de la logique vers les mathématiques, et en 1931 il fait une demande pour aller travailler à Princeton auprès du mathématicien Wedderburn. Revenu en France, il se tue au cours d'une descente dans les Pyrénées." (id.). Souvent comparé à Évariste Galois, autre pionnier génial des mathématiques mort à 21 ans un siècle plus tôt, "Herbrand a joué en quelques années un rôle essentiel dans l'histoire des mathématiques et de la logique contemporaines. En logique, parti de considérations "métamathématiques" (donner une "théorie concrète de la démonstration formelle", selon l'expression de Hilbert), il concentre ses recherches sur l' Entscheidungsproblem, qui était l'une des préoccupations principales des logiciens des années 1920 : comment trouver une méthode pour démontrer qu'une proposition donnée est vraie ou non dans une certaine théorie ? Le "théorème de Herbrand", qui établit une relation systématique entre logique propositionnelle et logique de la quantification et fait usage de méthodes de démonstrations "automatiques", forme la base de nombreux travaux actuels concernant le problème de la décision (...) En mathématiques, Herbrand s'est, là encore, intéressé à des questions à la fois très abstraites et développées hors de France : la théorie des groupes, la théorie des corps de classes [...] Ses idées sur la nature des mathématiques et de la logique [...], ont influencé très profondément la philosophie mathématique de Lautman, et, à un moindre degré, celle de Cavaillès, qui regretta après la mort de Herbrand de ne pas avoir su mieux reconnaître l'importance et la nouveauté de ses travaux. Mais Lautman et Cavaillès meurent à leur tour et l'oeuvre de Herbrand n'a, pour cette raison, pas encore été mise à sa place réelle." (id.) Les oeuvres complètes de Herbrand ont été réunies en 1968 sous le titre Écrits logiques (trad. anglaise, 1971). Le Département de mathématiques de l'ENS a organisé une exposition et un colloque à sa mémoire pour son centenaire, en 2008. Sans le feuillet d'errata. De toute rareté.